Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου."

Δήλια Ζέρβας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα Γ 90 Β ΒΓ 8 ΕΒ 4. Είναι ΑΒ ΑΕ ΕΒ ΔΓ ΕΒ 8 4 Τότε, αν Κ, Λ μέσα των μη παραλλήλων πλευρών θα είναι: ΑΒ ΔΓ 8 0 ΚΛ Σε τρίγων ΑΒΓ είναι ΒΓ = x + 4x, x > 0. Αν Κ, Λ μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστιχα και ΚΛ = x + 4 να βρεθεί τ x. Αφύ Κ, Λ μέσα των ΑΒ, ΑΓ τότε ΒΓ KΛ //. Άρα x 4x x 4 x 4 x 4x Επμένως x = η x = 4 απρρίπτεται. x 4x x 8 0 x x 8 0 Κεφάλαι Αν η διχτόμς της γωνίας Α, τριγώνυ ΑΒΓ, τέμνει τν περιγεγραμμέν τυ κύκλ στ Μ και η διχτόμς της γωνίας Β τέμνει την ΑΜ στ Δ, να δείξετε ότι τ τρίγων ΜΒΔ είναι ισσκελές. Επειδή η ΑΜ είναι διχτόμς της Α, θα ισχύει: Α Β Α. Επίσης και Β Β, αφύ η ΒΔ είναι διχτόμς της Β. Στ ΒΔΜ έχυμε: 9

2 Γεωμετρία της Α Λυκείυ Μ Γ ως εγγεγραμμένες γωνίες πυ βαίνυν στ τόξ AB. ΜΒΓ ως εγγεγραμμένες γωνίες πυ βαίνυν στ τόξ ΜΓ. Οπότε: Β Α Α Β 80 Γ Γ ΔΒΜ Β ΜΒΓ Β Α 90 Γ Γ Γ ΒΔΜ 80 ΔΒΜ Μ Γ Γ 90 Γ Άρα ΔΒΜ ΒΔΜ 90, πότε τ Μ ΒΔ είναι ισσκελές με κρυφή τ Μ. 37. Από σημεί Μ εκτός κύκλυ (Ο, R) φέρυμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ στν κύκλ. Πρεκτείνυμε την ΑΜ και στην πρέκταση παίρνυμε τμήμα ΜΓ = ΜΑ. Αν Δ είναι τ αντιδιαμετρικό σημεί τυ Α, να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά. Ισχύει: ΜΑ = ΜΒ () ως εφαπτμένα τμήματα πρς κύκλ από σημεί αυτύ. Επίσης η ΟΜ διχτμεί τις γωνίες ΑΜΒ και ΑΟΒ, πότε: Ο Ο και Μ Μ. Όμως () ΜΓ ΜΑ ΜΓ ΜΒ. Άρα τ τρίγων ΜΒΓ είναι ισσκελές, πότε Β Γ ως πρσκείμενες γωνίες στην βάση τυ ΒΓ. Η ΑΜΒ είναι εξωτερική γωνία τυ Μ Β Γ, πότε: ΑΜΒ Β Γ Μ Μ Β Γ Μ Μ Β Μ Β Μ Β. Άρα ΒΓ//ΟΜ () διότι τεμνόμενες από την ΒΜ σχηματίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες. Επειδή ΟΔ = ΟΒ = R τ τρίγων ΟΔΒ είναι ισσκελές. Άρα Δ Β. Όμως Δ ΑΟΒ, αφύ μια εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με τ μισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ με αυτήν. Άρα Δ Ο Β Ο πότε ΒΔ//ΟΜ (3) διότι τεμνόμενες από την ΟΒ σχηματίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες. Άρα από τις () και (3) και λόγω τυ αιτήματς τυ Ευκλείδη, συμπεραίνυμε ότι ι ευθείες ΒΔ και ΒΓ ταυτίζνται. Επμένως τα σημεία Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά. 38. Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ, θεωρύμε τα ύψη τυ ΑΔ και ΒΕ και έστω Η τ ρθόκεντρό τυ. Στ ΕΓ παίρνυμε τμήμα ΕΖ = ΑΕ. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιμ σε κύκλ. 93

3 Γεωμετρία της Α Λυκείυ Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔ Γ Δ Α Γ 90 Α 90 Γ έχυμε: () Ομίως από τ ρθγώνι τρίγων () Β 90 Γ Τ Α H Ζ ΒΕ Γ Ε έχυμε: είναι ισσκελές, αφύ τ ΗΕ είναι ύψς και διάμεσς, () () άρα Ζ Ζ 90 Γ Ζ Β. Άρα τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιμ αφύ μια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία. 39. Σε τρίγων ΑΒΓ φέρυμε τ ύψς τυ ΑΔ. Από τυχαί σημεί Μ τυ ΑΔ φέρυμε τις απστάσεις τυ ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιμ. Τ τετράπλευρ ΕΜΔΒ είναι εγγράψιμ, αφύ ΒΕΜ ΒΔΜ Άρα Β ΕΜΔ 80 () Ομίως και τ τετράπλευρ ΑΕΜΖ είναι εγγράψιμ ΑΕΜ ΑΖΜ , πότε η πλευρά τυ ΕΜ φαίνεται από τις κρυφές Α και Ζ υπό ίσες γωνίες. Άρα ΕΑΜ ΕΖΜ (). Στ τρίγων ΑΕΜ η ΕΜΔ είναι εξωτερική, πότε: ΕΜΔ ΕΑΜ ΑΕΜ ΕΜΔ ΕΑΜ 90 (3) Στ τετράπλευρ ΒΕΖΓ έχυμε: () (3) () Β ΕΖΓ Β ΕΖΜ ΜΖΓ Β ΕΑΜ 90 Β ΕΜΔ 80 Άρα τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιμ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωματικές. 40. Δύ κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) με R > ρ εφάπτνται εξωτερικά στ σημεί Α. Από τ σημεί Δ τυ κύκλυ (Λ,ρ) φέρυμε ευθεία πυ εφάπτεται στν κύκλ (Λ, ρ) και τέμνει τν κύκλ (Κ, ρ) στα σημεία Β, Γ. Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι εξωτερική διχτόμς της γωνίας Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Αρκεί να δείξυμε ότι: ΒΑΔ ΛΑΔ Στ τρίγων ΑΓΔ η ΛΑΔ είναι εξωτερική τυ γωνία, πότε: ΛΑΔ ΑΓΒ ΑΔΕ () 94

4 Γεωμετρία της Α Λυκείυ Φέρυμε την κινή εσωτερική εφαπτμένη των δύ κύκλων, η πία τέμνει της ΓΔ στ Ε. Τότε ΕΑ = ΕΔ σαν εφαπτόμενα τμήματα από τ Ε πρς τν κύκλ (Λ, ρ). Άρα ΑΔΕ ΔΑΕ () σαν πρσκείμενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ. Επίσης ΕΑΒ ΑΓΒ (3) διότι η γωνία από χρδή και εφαπτμένη είναι ίση με την εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ της. () Η () ΛΑΔ ΕΑΒ ΔΑΕ ΛΑΔ ΒΑΔ.ε.δ. (3) 4. Σε ημικύκλι διαμέτρυ ΑΒ, θεωρύμε τ μέσ τυ Μ. Έστω Λ τυχαί σημεί τυ τόξυ AB. Φέρυμε την ευθεία ΜΚ ΑΛ. Να δείξετε ότι: ΜΚ = ΚΛ Φέρυμε τα τμήματα ΛΜ, ΑΜ, ΟΛ, όπυ Ο τ κέντρ τυ ημικύκλιυ. Τότε ΟΜ ΑΒ, αφύ για την επίκεντρη γωνία ΒΟΜ ισχύει ΒΟΜ 90 διότι βαίνει στ τόξ AB 80 ΒΜ 90 Στ τρίγων ΑΛΜ η ΚΛΜ είναι εξωτερική, πότε: ΚΛΜ ΛΑΜ ΑΜΛ () Όμως κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι, κατά μέτρ, ίση με τ μισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ με αυτήν. Άρα: ΛΑΜ Ο ΑΜΛ Ο () ΚΛΜ Ο Ο ΚΛΜ Ο Ο ΚΛΜ ΑΟΜ (3) () Η ΚΛΜ 90 ΚΛΜ 45 Τ τρίγων ΚΛΜ είναι ρθγώνι στ Κ και ΚΜΛ ΚΛΜ 45, πότε και. Άρα τ τρίγων ΚΛΜ είναι και ισσκελές, πότε ΛΚ = ΜΚ. 4. Αν η διχτόμς της γωνίας Α τριγώνυ ΑΒΓ τέμνει τν περιγεγγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ σε σημεί Δ, να δείξετε ότι: α. Τ τρίγων ΙΒΔ είναι ισσκελές, όπυ Ι είναι τ εγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β. Τ σημεί Δ είναι περίκεντ τυ τριγώνυ ΙΒΓ. α. Φέρυμε τις διχτόμυς των γωνιών Α και Β τυ τριγώνυ ΑΒΓ, ι πίες τέμννται 95

5 Γεωμετρία της Α Λυκείυ στ έγκεντρ Ι. Τότε: Α Β Α Α και Β Β. Στ τρίγων ΙΒΔ έχυμε: η γωνία τυ ΑΒΙ, πότε: ΒΙΔ είναι εξωτερική γωνία τυ τριγώνυ Β Α Α Β ΒΙΔ Β Α Β Β ΙΒΔ Β Β Β, αφύ 3 Β 3 Α σαν εγγεγραμμένες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ ΓΔ. Άρα ΒΙΔ ΙΒΔ πότε τ τρίγων ΙΒΔ είναι ισσκελές με κρυφή τ Δ, πότε: ΔΒ = ΔΙ () β. Επειδή ι εγγεγραμμένες γωνίες Α, Α είναι ίσες, θα είναι ίσες και ι αντίστιχες χρδές τυς, δηλαδή ΔΒ = ΔΓ () Από () και () έχυμε: ΔΒ = ΔΙ = ΔΓ, δηλαδή τ Δ ισαπέχει από τις κρυφές τυ τριγώνυ ΙΒΓ, άρα είναι τ περίκεντρ τυ. 43. Έστω σημεί Δ τ πί δεν ανήκει στ εσωτερικό τριγώνυ ΑΒΓ. Αν ι πρβλές τυ Δ στις πλευρές τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι συνευθειακά σημεία, να δείξετε ότι τ Δ ανήκει στν περιγεγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Έστω ΔΚ ΒΓ, ΔΛ ΑΓ, ΔΜ ΑΒ, με τα σημεία Κ, Λ, Μ να ανήκυν στην ίδια ευθεία. Για να δείξυμε ότι τ Δ ανήκει στν περιγεγραμμέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ αρκεί να δείξυμε ότι τ ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμ. Τ τετράπλευρ ΚΛΔΓ είναι εγγράψιμ, αφύ ΓΚΔ ΓΛΔ 90, δηλαδή η πλευρά τυ ΓΔ φαίνεται από τις απέναντι κρυφές τυ Κ, Λ υπό ίσες γωνίες. Άρα ΒΓΔ ΔΛΜ (), διότι σε εγγράψιμ τετράπλευρ μια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση με την απέναντι εσωτερική. Επίσης τ τετράπλευρ ΑΜΔΛ είναι εγγράψιμ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωματικές ΑΛΔ ΑΜΔ Άρα ΔΛΜ ΔΑΜ (), αφύ σε ένα εγγράψιμ τετράπλευρ κάθε πλευρά τυ φαίνεται από τις απέναντι κρυφές υπό ίσες γωνίες. Από () και () πρκύπτει ότι ΒΓΔ ΔΑΜ. Συνεπώς στ τετράπλευρ ΑΒΓΔ, μια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση με την απέναντι εσωτερική. Άρα τ ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμ. 96

6 Γεωμετρία της Α Λυκείυ 44. Σε τρίγων ΑΒΓ θεωρύμε τα ύψη τυ ΒΔ και ΓΕ. Αν Η τ ρθόκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, Μ τ μέσ της πλευράς ΑΒ και Ν τ μέσ τυ ΗΒ, να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΔΜΕΝ είναι εγγράψιμ. Στ ρθγώνι τρίγων A B Δ η ΜΔ είναι η διάμεσς τυ πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ΑΒ. Άρα ΑΒ ΔΜ ΑΜ. Συνεπώς τ τρίγων ΑΔΜ είναι ισσκε- λές με κρυφή τ Μ, πότε Δ Α () ως πρσκείμενες γωνίες στην βάση τυ ΑΔ. Τότε για την εξωτερική γωνία Μ τυ τριγώνυ ΑΔΜ έχυμε: () Μ Δ Μ (). Τ τετράπλευρ ΑΔΗΕ έχει ΑΔΗ ΑΕΗ , δηλαδή δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωματικές, πότε είναι εγγράψιμ. Συνεπώς θα ισχύει ότι Η Α (3), αφύ κάθε εξωτερική γωνία εγγράψιμυ τετραπλευρύ είναι ίση με την απέναντι εσωτερική. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΕΗ η ΕΝ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ΒΗ. ΒΗ Άρα ΕΝ ΝΗ. Δηλαδή τ τρίγων ΕΝΗ είναι ισσκελές με κρυφή Ν. Άρα Η Ε (4) ως πρσκείμενες γωνίες στη βάση τυ. Οπότε για την εξωτερική τυ γωνία Ν έχυμε: () (3) Ν Ε Η Ν Η Ν Μ. Άρα τ τετράπλευρ ΔΜΕΝ είναι εγγράψιμ, αφύ μια εξωτερική γωνία τυ είναι ίση με την απέναντι εσωτερική. 97

Σχετικά έγγραφα

ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης